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| 彭实戈院士：倒向随机微分方程理论在金融决策中的应用 |
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决定论曾长期在明升体育app界占统治地位，相应的数学体系始于牛顿—莱布尼茨的微积分和微分方程理论。但人们逐渐认识到，世界本质上是随机的，处处充满着不确定性。
日本数学家伊藤清（Ito）在1942年开创的随机微积分和随机微分方程理论是对随机现象进行定量分析和研究的最重要的数学工具。这个理论被誉为“随机王国中的牛顿定律”。
但是与牛顿—莱布尼茨的微分方程相比，Ito型随机微分方程理论有一个重要缺憾：它本质上是正向的——只能根据现在的数据计算将来的可能状态；不能根据将来的可能状态倒向现在。
然而，倒向的随机问题在现实，尤其是金融市场中被大量涉及。
为弥补这一缺憾，全世界的数学家进行了大量的工作。数理金融学家们曾用了70多年的时间来解决期权定价这样一个倒向的随机问题，其中一例就是著名的Black-Scholes公式。虽然当时并不知道，但Black、Scholes和Merton于1973年获得的期权价格方程其实就是一个特殊的线性倒向随机微分方程，它的解即Black-Scholes公式。Scholes和Merton因此获得了1997年诺贝尔经济学奖，而Black不幸在获奖前便去世了。
6月26日，金融统计学家彭实戈院士在中科院第十四次院士大会学术年会上作了题为《倒向随机微分方程、非线性数学期望和G-布朗运动》的手机版，介绍了倒向的、非线性的随机计算方法，利用这些方法，人们可以作出更稳健的金融决策。
20世纪90年代初，受随机最优控制理论中对偶过程的启发，彭实戈和法国同事建立起了倒向随机微分方程理论。
“理论建立之初，我本人也像大多数第一次见到这个方程的人一样，对这种与扩散时间指向相反的方程的解感到大惑不解。但这更激起了我对这种奇特现象的好奇心。”彭实戈说，虽然Black-Scholes-Merton的期权价格方程实际上是一个特殊的线性倒向随机微分方程，但在更一般的假设下，期权价格则需要用非线性的倒向随机微分方程来描述。
基于对量子力学中Feynman路径理论的研究，数学家Kac在1951年获得了概率论与线性二阶偏微分方程关系的著名的Feynman-Kac公式，它成为现代概率论一个重要的基础性成果。
“但是一个非常基础但是长期以来进展甚小的数学问题是：Feynman-Kac 公式能不能推广到非线性？”彭实戈问道。他曾长期思索这个问题，结果，他和同事通过倒向随机微分方程出人意料地发现和证明了：一大类二阶非线性偏微分方程的解可以通过倒向随机微分方程的解来表示，而其线性情况就是Feynman-Kac公式。
很多文章都称这个结果为“非线性Feynman-Kac公式”。“而这个结果的更深层的含义则是：一个倒向随机微分方程实际上可以视为一种路径依赖的偏微分方程，由于在现代金融市场中有各类形形色色的路径依赖的期权，相应的期权定价问题所对应的倒向随机微分方程就是这类路径依赖的偏微分方程。”彭实戈解释道。
数学大师柯尔莫哥洛夫1933年建立的现代概率论已被广泛应用到不同领域，这个理论的本质是：数学期望是线性的。为了克服线性期望在解释经济现象时的不足，曾有许多数学家与经济学家致力于研究非线性数学期望。
彭实戈等人1997年引入了g-期望以及条件g-期望的概念，从而建立了动态非线性数学期望理论基础。“这是据我们所知的第一个动态非线性数学期望。”彭实戈表示，进一步的，他还引进了g-鞅等重要概念并用独创的方法获得了g-上鞅分解定理，将作为现代随机分析的基石的Doob-Meyer分解定理推广到了非线性。
2002年，基于该定理，他又证明了一个非常有趣的结果：一个动态相容的非线性数学期望，只要满足一定的光滑条件，就一定是g-期望。这表明g-期望是一个基础性的重要概念。最近国外学者发现，g-期望是计算“风险测度”和进行非线性统计分析的一个重要工具。这些研究结果都对建立非线性概率理论奠定了基础。
事实上，即使对于金融资产的波动率的动态不确定性这种金融市场中天天都会遇到的现象，其动态风险度量度也无法在柯尔莫哥洛夫意义下的经典概率空间中定义，这促使彭实戈在一种全新的次线性期望空间中引入一个标准的随机过程：G-布朗运动——一种新的布朗运动。而一个具有波动率不确定性的金融资产实际上就是一个G-几何布朗运动。他和同事从此出发系统地建立起了相应的随机分析和随机计算理论，这也是现代动态金融风险度量理论的基础工具。
